第13章 碾压孟国伟（1 / 4）

  用模5同余，n≡0，±1，±2时各自代入验证，三十秒內思路就通了。

  他低头开始写证明过程，笔尖在纸上刷刷地响。

  孟国伟也几乎同时落笔，两个人的证明思路几乎一模一样，都是分解因式加同余討论。

  这道题两个人打平，用时都在两分钟以內。

  第二道题：组合计数，一个10x10的棋盘，每行每列恰好放两个棋子，问有多少种不同的放法。

  这道题的难度，明显比上一道高了一个档次。

  高个子男生凑过来看了一眼题目，倒吸一口凉气，小声说了句：“这也太变態了。”

  孟国伟在草稿纸上列了一个10x10的矩阵模型，眉头微微皱起，笔尖在纸上点了好几下才开始写。

  计数问题用容斥原理和生成函数都可以，但中间的分类討论极其繁琐，稍不留神就会漏算重复排列。

  陈平没有急著动笔，专注、强化记忆、心斋三重叠加之下，他的大脑正在高速运转。

  他放弃了孟国伟那种直接硬算的路线，转而用置换矩阵的等价类来归约，每行每列恰好两个棋子，等价於一个2-正则二部图的完美匹配计数，可以用积和式展开，但10阶积和式直接算还是太复杂。

  他灵光一闪，想到用递推关係：设a_n为nxn棋盘的方案数，建立a_n与a_{n-1}、a_{n-2}的递推式，然后从a_1=0、a_2=1开始往上推。

  他在草稿纸上快速演算了递推公式的推导过程，確认边界条件无误，然后开始逐级递推。

  推到a_10的时候，数字已经很大了，但他的大脑在三重技能叠加下像一个精密的计算器，每一步递推都清清楚楚。

  他写下平终答案的时候，孟国伟还在草稿纸上做第四种情况的分类。 ↑↑